报告题目：非标准分析及其在图极限上的应用
报 告 人：宋诗畅 副教授 (北京交通大学)
报告时间：2025年11月14日（星期五）9:00- 11:30
报告地点：数学科学学院115
校内联系人： 赵磊 教授 联系方式：84708351-8625
报告摘要：本报告第一部分介绍非标准分析。非标准分析由 Abraham Robinson 于 1960 年代创立，它通过引入无穷小量与无穷大量，严谨地扩展了实数系，形成超实数系。在此框架下，微积分的基本概念（如极限、连续、导数与积分）均可通过代数运算直接处理，无需依赖传统的 $\epsilon-\delta$ 语言。它为分析学提供了更直观的“无穷小”模型，并且是研究数学基础的重要工具。第二部分介绍非标准分析在图极限上的应用。2006年，沃尔夫奖得主Lovasz和Szegedy提出了图极限的概念。图极限可以看作是有限图序列的一种极限，但是图极限并不是图，而是$[0,1]^2$到$[0,1]$的对称可测函数。用非标准分析的方法，可以给出了图极限的新构造。取一个超有限数$N$，顶点集为$N$的内图指的是边集是$N\times N$的内集的图，又被称为超有限图。超有限图边集的特征函数在某种意义下的条件期望就可以得到图极限。并且，所有的图极限都可以用超有限图通过取条件期望得到。这样，我们就建立了超有限图和图极限之间的对应。图极限不是图，然而，超有限图却是标准意义下的图。用非标准分析的方法，特别是非标准测度论，可以系统地重建Lovasz等人在图极限中的结果，并将图极限的结果推广到其他组合结构的极限中。
