我院教授代国伟与我院博士毕业生张勇在世界著名期刊 Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) 上发表了题为“Sign-changing solution for an overdetermined elliptic problem on unbounded domain”的研究成果。该杂志是世界上现存最古老的数学期刊，自1826年创刊以来，至今已有近200年的历史。

上世纪五十年代，Schiffer研究了第一特征值关于区域的极小化问题。他证明使得第一特征值达到极小的区域等价于超定特征值问题在其上有解。由Faber-Krahn关于特征值的著名工作易知球形区域满足上述要求。反过来，使得这个超定问题有解的区域是否一定是球形区域？这也被称为Berenstein猜想。对有界光滑区域上的正解，Serrin用Aleksandrov的反射原理给出Berenstein猜想的肯定回答。对于无界区域上的正解问题，Berestycki, Caffarelli和Nirenberg给出著名的BCN猜想。Sicbaldi于2010年用分歧方法构造出BCN猜想的第一个反例。

代国伟和张勇用分歧分析方法构造了非平凡无界柱形区域上前述超定特征值问题变号解的存在性，从而给出Berenstein猜想在无界区域上的反例。此外，他们在研究问题过程当中还获得了Bessel函数的一个凸型不等式。作为一个辅助结论，他们获得了三维径向情形下特征值和特征函数的精确表达式，从而解决了这种情形下的Weyl关于特征值渐近公式的猜想，即著名的Weyl猜想。

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https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crelle-2023-0059/html