2016年《微分方程与动力系统》课程教学大纲

2016年04月26日 14:13  点击:[]

       东北地区高校数学教师培训班

《微分方程与动力系统》课程教学大纲

 

课程类别:大学应用数学专业高年级或研究生课程

授课对象:东北及周边地区高校青年教师,一般具有硕士学位

开课时间:2016712----730

       时:30学时左右

主讲教师:吕克宁、柳振鑫

 

一、教学目的:

动力系统是一门研究系统随时间演化规律的数学学科,有着广泛的科学背景和应用价值。当系统受到噪声影响时,我们需要考虑扰动系统随时间如何演化,也即随机动力系统。近年来随着随机动力系统理论的深入发展,其已经成为一个具有旺盛生命力的研究领域。在此课程中我们拟简单介绍微分方程的几何理论,随机微分方程及其不变测度等内容。

 

二、课程内容:

第一阶段:微分方程的几何理论

第一讲  微分方程引论(3学时)

1.     存在性与唯一性

2.     解的连续拓展

3.     解的连续依赖性

 

第二讲  线性系统与非线性系统的稳定性(3学时)

1.     线性系统的稳定性

2.     非线性系统的稳定性

3.     Lyapunov函数

4.     Floquet理论

 

第三讲  动力系统与极限集(3学时)

1.     极限集

2.     梯度系统

3.     Poincare-Bendixson 定理

 

第四讲  不变流形(3学时)

1.     稳定与不稳定流形

2.     中心流形

3.     流形的叶层分解

 

第五讲  法型与线性化(3学时)

1.     Hartman-Grobman定理

2.     法型

3.     光滑线性化

 

参考书目

[1] M. W. Hirsch, S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2nd  ed., 2004.

[2] C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, 2nd ed., 2006.

 

第二阶段:随机微分方程及其不变测度

第一讲  一点概率基础(3学时)

1. 概率空间、随机过程。

2. 鞅、停时

3. Markov过程、Wiener过程、白噪声。

 

第二讲  随机积分(3学时)

1.     随机积分的定义

2.     随机不定积分

3.     Ito公式

 

第三讲  随机微分(3学时)

1.   随机微分方程解的存在唯一性。

2.   解对初值与系数的连续依赖性。

3.   几个随机微分方程的例子

 

第四讲  Markov半群与Diffusion过程(3学时)

1. 随机微分方程的解作为Markov过程,并生成半群。

2. 随机微分方程的解作为Diffusion过程。

 

第五讲  随机微分方程的不变测度(3学时)

1. Markov半群的不变测度。

2. 随机微分方程的不变测度及其存在唯一性。

 

参考书目

[1] L. Arnold, Stochastic Differential Equations: Theory and Applications, Wiley, 1974.

[2] L. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, version 1.2, lecture notes.

[3] A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol. 1, Academic Press, 1975.

[4] R. Z. Khasminskii, Stochastic Stability of Differential Equations, 2nd ed., 2012.

[5] B. Oksendal, Stochastic Differential Equations, 6th ed., Springer, 2003.

  

 

 

 

 

   

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

 

    

 

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