东北地区高校数学教师培训班
《遍历理论初步》--课程教学大纲
课程类别：动力系统方面专业课程
授课对象：东北及周边地区高校青年教师，一般具有硕士学位
开课时间：2016年7月12日----7月31日
学 时：30学时左右
主讲教师：黄文
一、教学目的：
遍历理论是动力系统的最基础课程之一，在遍历理论中我们通常讨论可分的概率空间或者Lebesgue空间上的保测作用。遍历(ergodic)一词最初由Boltzman引入。在统计力学中，Boltzman提出了著名的“遍历假设”：系统的时间平均等于空间平均。现在我们已经知道这假设一般情况下是不成立的， 人们通常把满足时间平均等于空间平均的系统称为遍历系统。遍历论的起点是Poincare回复定理、Von-Neumann平均遍历定理和Birkhoff逐点遍历定理。随后，许多学者对这些结果作了一系列的推广和改进。1958年Kolmogorov在遍历论中引入测度熵。测度熵是一个重要的保测同构不变量，它很好的反映了保测系统的复杂程度。当前，有关熵以及从中衍生出来的问题在拓扑动力系统和遍历理论的研究中占据了很大比重。上世纪七十年代，Furstenberg等人关于遍历系统的结构定理以及它在数论中的应用更是极大的促进了遍历理论的发展。如今，遍历理论已经成为一个独立且具有旺盛生命力的研究领域，并被广泛的应用到其它学科的研究中。
遍历理论对动力系统及相关领域很多后继课程影较大。加强基础课程教学和提高任课教师的教学水平是教学工作的重要指导思想。此次，东北地区高校数学教师培训班的宗旨就是通过培训，教学实践，提高青年教师关于这门课程的教学水平。由于参加此次教师培训班的教师都学习过实变函数、泛函分析等课程，一般具有硕士学位，对遍历理论所涉及的基本知识点比较熟悉，因此主要讲授该课程的思想、核心、主线，解析该课程的重点、难点，特别要体现遍历理论与数论领域的关联，同时，通过对青年教师的授课给予指道与总结，达到提高青年教师处理教学内容，实践教学改革的能力。
二、课程内容：
第一讲 遍历性与混合性（8学时）
教学内容：
1. 介绍遍历论中涉及到的测度论的一些基本概念.
2. 遍历性以及Birkhoff逐点遍历定理和Von-Neumann平均遍历定理.
3. 测度混合性.
教学目的
本教学内容是使青年教师了解保测系统，遍历性、测度弱混合性及其判定，掌握Birkhoff逐点遍历定理和Von-Neumann平均遍历定理的证明和思想, 并熟悉一些基本系统：如符号系统、无理旋转等。
第二讲 唯一遍历性与Weyl等分布定理（6学时）
教学内容
1. 不变测度及其存在性.
2. 遍历分解与唯一遍历性.
3. Weyl等分布定理
教学目的
本教学内容是使青年教师了解不变测度、遍历分解，掌握不变测度存在性的证明，以及通过使用唯一遍历性去给出Weyl等分布定理的遍历理论证明。
第三讲 测度熵（12学时）
教学内容
1. 测度熵的定义及基本属性.
2. Martingale收敛定理和Shannon-McMillan-Breiman定理.
3. 符号表示与Martingale收敛定理和Shannon-McMillan-Breiman定理.
4. 测度Pinsker sigma-代数和熵的Pinsker公式.
5. 测度Kolmogorov 系统及基本属性。
教学目的
测度空间上的熵的概念是由Kolmogorov 1958年给出的,它是目前为止发现的一个重要的同构不变量, 并得到广泛、深入地研究。本讲主要涉及测度熵的经典理论。本教学内容是使青年教师了解测度熵、符号表示、测度Pinsker sigma-代数及测度Kolmogorov 系统，掌握Martingale收敛定理、Shannon-McMillan-Breiman定理、熵的遍历分解性的证明，熵的Pinsker公式和Rohlin-Sinai定理证明。
第四讲 Furstengerg猜想（4学时）
教学内容：
1. 圆周自同态与Furstenberg定理
2. 熵与Rudolph定理
教学目的
Furstengerg猜想涉及两个乘积独立圆周自同态的不变测度结构的猜测，它是目前动力系统中的最为核心问题之一。1990年Rudolph在附加了正熵条件下证明了Furstengerg猜想。随后人们给出Rudolph定理不同的证明。这些在Furstengerg猜想研究中所产生的方法和思想已经应用到微分几何和数论等领域的一些问题的研究中，例如, 菲尔兹奖得主Lindenstrauss将其用到微分几何量子唯一遍历性问题的研究中；Lindenstrauss, Einsieder和Katok将其用到数论Littlewood猜测的研究中。尽管Furstengerg猜想研究对正熵的情形已经完全解决，但对于零熵的情形目前还没有任何进展，它的完全解决将是一件任重道远的事情。本教学内容是使青年教师了解与Furstengerg猜想相关的一些基础知识以及B.Host对Roudolph定理的证明。
参考书
1. M. Einsiedler and T. Ward, Ergodic theory with a view towards number theory. Graduate Texts in Mathematics, 259. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011. xviii+481 pp.
2. H. Furstenberg, Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. M. B. Porter Lectures. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981.
3. E. Glasner, Ergodic theory via joinings. Mathematical Surveys and Monographs, 101. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
4. W. Parry, Topics in Ergodic Theory, Cambridge Tracks in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1981.
5. K. Petersen, Ergodic theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.
6. R. Phelps, Lectures on Choquet's theorem, D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London,1966.
7. P. Walters, An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics,79. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.
8. B. Weiss, Single Orbit Dynamics, AMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 95, 2000.
说明
遍历理论的专门的中文教材目前还没有，在《拓扑动力系统引论》(叶向东、黄文、邵松，科学出版社，2008)中有一部分遍历理论的内容。
